17 - EPISTEMICA DELLA SIMMETRIA - Lillina Olleia

 

etimologia di un concetto

Lillina Olleia

Talvolta incontriamo, ci scontriamo, con concetti e teorie inusuali e certamente inattese. Eppure, questi concetti che ci frequentano per il tramite delle più bizzarre situazioni, dalle conversazioni con amici o colleghi alle improvvide e occasionali letture, caratterizzano la nostra esistenza e il mondo in cui viviamo. Non sono sempre di facile comprensione sia per la loro intrinseca natura sia per la connotazione che assumono nelle varie dimensioni: strumenti descrittivi per una infinità di fenomeni e, allo stesso tempo, anticipatori di nuovi, mai osservati. La storia del pensiero è ricca di un’instancabile ricerca di concetti unificanti che possano far derivare, da alcuni elementi semplici, la spiegazione dell’estrema complessità del reale.

1 – Dimensione etimologica

Quello di “simmetria” è uno di questi concetti. Nato dalla logica geometrica della interpretazione del reale si è dimostrato, con le sue manifestazioni, i suoi significati, i suoi principi fondanti, gli aspetti tecnici e formali, uno strumento concettuale che nel corso dei secoli è stato in grado di produrre utilità inattese nell’ambito della conoscenza, con le conseguenti manifestazioni a cui ha dato vita[1]. Il premio Nobel per la fisica F. Wilczek, ad esempio, definisce la simmetria, a causa della sua identicità riproduttiva, come un “cambiamento senza cambiamento”, un’invarianza rispetto a ogni tipo di trasformazione. La ricerca di simmetria e di bellezza può essere intesa come la ricerca di equilibrio delle forme, della loro regolarità e della loro corrispondente rottura.

Tratto dal dizionario Treccani, il termine simmetria [dal gr. συμμετρία, comp. di σύν «con» e μέτρον «misura»], indica un’ordinata distribuzione delle parti di un oggetto (di un edificio, di una struttura, di un’opera d’arte, ecc.) tale che si possa individuare un elemento geometrico (un punto, una linea, una superficie) in cui ad ogni punto dell’oggetto posto da una parte di esso corrisponda, con uguale distanza, un punto dall’altra parte.[2]

Accade spesso, tuttavia, che il percorso etimologico di un termine ne espanda la concezione e apra un ampio e diverso ordine di temi e problemi. Concetti che estendono le concezioni. Talvolta, i percorsi tracciati si dimostrano stimolanti più per le loro capacità di interpretazione che per il valore intrinseco dell’approccio etimologico. L’etimologia propone costruzioni formali: lo scopo è quello di partire da attività di ricerca, per consegnare alcuni significati cercando di rendere concetti e concezioni in grado di determinare riflessioni ed osservazioni del termine. La ricostruzione etimologica dovrebbe fondarsi su questa norma basilare, scegliendo come proprio campo euristico quello della «comprensione di doxai individuali o di più vasti modelli cognitivi», capaci di percorrere un cammino che tende all’originale senza raggiungerlo. La complessità della lingua, come voleva Roland Barthes, contiene tutto, perfino l’originale, anche se il significante del termine assume una valenza scientifica solo quando acquisisce corrispondenze connotative e denotative nell’ambito di una teorizzazione chiusa (incommensurabilità paradigmatica) o aperta (razionalismo critico). In questo senso, per tentare qualsiasi retrospettiva linguistica, bisogna necessariamente appellarsi, se non proprio ad un modello, almeno ad una ipotesi teorica. Infatti, tutte le ricostruzioni linguistiche contengono i presupposti che le hanno ispirate e istituiscono delle verità che quasi mai sono totalmente corrispondenti con la realtà.

Una corretta comprensione di “simmetria”, pertanto, necessita di una definizione, descrizione ed illustrazione in stretta relazione con il contesto nel quale viene utilizzato. Per questo motivo, cioè per il fatto che il cambiamento storico sociale ha cambiato i significati delle parole, si riscontra una inequivocabile difficoltà ad intendere il senso stretto del termine e abbiamo ancora oggi infinite e differenti interpretazioni del tempo e dello spazio cognitivo. Naturalmente questa circostanza rende difficile una definizione generale di simmetria e il termine s’incontra in contesti estremamente diversi: dalla biologia alla matematica, dalla fisica all'architettura, dalla geometria alla mineralogia, dall'estetica alla cristallografia, dalla chimica alla musica, dalla geologia alla letteratura. Questo è possibile solo se si considera, apparentemente in contraddizione, la simmetria come una nozione di carattere specificamente relativa, cioè relativa ad una o più proprietà ben specificate di un oggetto o di un determinato "sistema".

2 – evoluzione storica

Sono immagini, soltanto immagini, talvolta riflesse, talvolta soltanto percepite, tratte dal rapporto unico e univoco di ciascuno di noi, ogni giorno, con la natura. Sono immagini che hanno prodotto una infinita serie di interpretazioni alcune simmetriche altre no. Quelle simmetriche sono state razionalmente divise in:

• Assiale o di riflessione: si intende il riflesso speculare di tutti i punti rispetto ad un centro detto “asse o piano di riflessione”;
• Radiale: si intende la ripetizione, o meglio la ricorsività, lungo traiettorie passanti tutte per uno stesso punto e per questo simmetriche tra loro;
• Rotatoria o centrale: lo sviluppo delle forme attorno ad un punto, il centro, che permette la realizzazione di particolari forme artistiche o architettoniche.

Di questo ampio elenco di percezioni noi possiamo ripercorre la storia, che appare come la storia di un termine pieno di concetti e concezioni.

Degli antichi pensatori, Pitagora fa del numero e quindi dei numeri razionali, la misura di tutte le cose, poiché la sua scuola di matematica aveva, come è noto una natura profondamente religiosa addirittura mistica.

Proprio la profonda natura religiosa della scuola pitagorica, conferisce uno specifico rilievo alla simmetria. Soltanto con la simmetria è possibile l’intima ricerca dell’archè, che è il principio primo generatore di tutte le dimensioni della fenomenologia esistente. E della natura, che tende inevitabilmente all’armonia. Un rapporto organico che mostra la sua bellezza in modo particolare nella integrazione tra i numeri e i suoni della scala musicale. Si tratta di una vera e propria composizione concepita tramite l’unione di elementi opposti e speculari la cui αρμoνια (armonia) è data dalla logica articolazione delle parti esprimibile con formule matematiche e teoremi geometrici; come il teorema del triangolo rettangolo, già noto, secondo alcune fonti, presso gli antichi babilonesi, ma di cui per primo Pitagora ne ha compreso la validità generale e per questo, forse, porta ancora il suo nome. L’armonia è il prodotto della relazione tra le parti, ma la sua unità non può che essere fondata su rapporti numerici semplici, cioè su una particolare simmetria dove geometria e musica sono intimamente connesse. Una simmetria che è fondamento armonico della complessità e, dunque, uno strumento importante nell’ambito delle arti e dell’indagine scientifica.

Sulla scia delle elaborazioni pitagoriche, Euclide, nell’apertura del decimo libro degli Elementi, specifica la particolare tipologia di rapporto numerico semplice che permette la comprensione del significato di συμμετρια. Questo rapporto è dato dal valore matematico di commensurabilità: “Commensurabili (συμμετρα) si chiamano le grandezze che sono misurate da una stessa misura, incommensurabili (ασυμμετρα) quelle grandezze, delle quali non si trova alcuna misura comune”[3]. Sono simmetriche le grandezze commensurabili, cioè quelle che dimostrano una relazione di commisurazione numerica. Per Eraclito il concetto di simmetria era originariamente l’operazione sottintesa e non il numero che legava tutte le cose.

Negli scritti filosofici, nel Timeo, Platone sottolinea come la simmetria, intesa prima di tutto come proporzione armonica delle parti e al tempo stesso di bellezza in quanto equilibrio delle forme, deve essere la base di qualsiasi processo di formazione correlato agli elementi naturali, agli esseri viventi o al sistema astronomico[4].

Nella cultura greca, dunque la simmetria non è associata alla sola geometria, dal momento in cui ha un significato paragonabile a quello di proporzione e pertanto strettamente legata anche all’ambito artistico.

L’analisi appena sviluppata e l’insistenza posta nel sottolineare lo schematismo della simmetria, che si lascia descrivere dal Numero e dalle sue relazioni nel mondo, ha prodotto un ruolo fondamentale nell’arte e nell’architettura, iniziando a considerare armoniche le giuste proporzioni all’unificazione tra geometria e arte.

Policleto, nel Dorifero teorizza i parametri della bellezza ideale e della perfetta misura del corpo umano (ανθρωπομετρία), e stabilisce un canone, un modello fondamentale per tutta l’arte greca. Infatti, si intitola “Il Canone” (in greco antico: Κάνον, "regola") il testo di Policleto, scritto verso il 450 a.C., pervenutoci attraverso un famoso brano compendiato da Galeno, che costituisce il trattato più importante sulle proporzioni dell'anatomia umana e che, sebbene sia andato perduto, è rimasto a lungo un punto di riferimento per la rappresentazione di un arte oggettiva e finita. Egli teorizzò i temi della bellezza e dell'armonia ed ebbe uno straordinario impatto, ispirando anche le ricerche sul modulo architettonico. L’immagine riportata ci permette di analizzare la perfetta proporzione fisica attraverso un minuzioso calcolo matematico che mette in relazione tutte le parti del corpo: la testa di una statua deve essere contenuta un numero intero di volte all’interno del corpo, l’altezza del corpo è dunque pari 7 volte a quella della testa (calcolata dal mento al vertice del capo). Altro aspetto non trascurabile è la ponderazione, da utilizzare affinché si voglia ottenere un equilibrato bilanciamento delle varie parti nelle diverse pose in cui la figura verrà rappresentata. In sintesi, l’idea di Policleto rispecchia il tema trattato da Eraclito, in cui la statua nel suo complesso e le sue singole parti devono essere commensurabili.

Figura 1 Scultura del Doriforo di Policleto con evidenziate le proporzioni.

La simmetria diviene canone non solo nelle arti figurative in senso stretto, ma anche dell’architettura greca, esemplare è il Partenone progettato da Ictino. Da Policleto a Ictino, come scrive il fisico Giancarlo Ghirardi[5], "Proprio in quanto espressione sia di aspetti fenomenici sia logici, l’idea stessa di proporzione, vale a dire di simmetria, presenta fin dal suo nascere un’affascinante fusione di elementi estetici e razionali".

Il concetto di simmetria domina anche l’arte e la scienza romana, ma assume un significato totalmente diverso da quello greco. Se per la concezione greca il significato di simmetria era corrispondente a ordine regolatore dell’universo equilibrato e armonico, nella concezione romana la simmetria è una parte della costruzione, della edificazione, della realizzazione umana dei manufatti. Meglio di tutti espresse questa nuova accezione Vitruvio[6], nel De Architectura, che fa della simmetria uno degli elementi della costruzione: si intende con simmetria (termine senza un referente latino) la corrispondenza proporzionale fra una parte e il tutto di un'opera, misurata a moduli o frazioni di modulo. Per Vitruvio quindi simmetria significa con-misurazione, cioè "il collegamento armonico dei singoli membri dell'edificio". La simmetria in architettura è una delle 6 categorie della costruzione, assieme a ordinatio (cioè l’ordine composto delle cose e quindi la conoscenza delle parti e della loro proporzione), dispositio (che consiste nella capacità di posizionamento delle parti secondo la propria iconografia, ortografia e scenografia), eurythmia (che consiste in quello che noi oggi chiamiamo lo stile, la presenza e la figura del manufatto), decor (che tradurremmo con eleganza, cioè la bellezza e il decoro dell’opera composta), distributio (la sapienza nell’impiego dei materiale e delle superfici, come della parsimonia nella edificazione). Pertanto, con i romani, la simmetria perde la sua centralità nella interpretazione del mondo e diventa una tecnica di costruzione, per quanto importante, tuttavia, non determinante.

La competenza edificatoria romana, già nota con l’avvento dell’urbanistica, cioè nel passaggio dalla polis all’urbs, era estensiva e riguardava anche la natura. Le costruzioni romane dominavano l’ambiente, a differenza di quelle greche che ne facevano parte. Ciò vale anche per la biologia e la scultura naturale del corpo umano. Non è un caso che Vitruvio, nella terza parte del suo libro, descriva la forma dell’uomo ideale e successivamente, nel quinto libro, la forma ideale dei templi. La similitudine comparativa è espressa con estrema chiarezza dallo stesso Vitruvio: “Come nel corpo umano la proprietà simmetrica dell’euritmia deriva dalla proporzione fra gomito, piede, palmo delle mano, dito e le altre piccole parti, lo stesso avviene nella realizzazione dell’opera”.

Vitruvio assegna alla simmetria una funzione normativa e, proprio come sosteneva Policleto, definisce questi rapporti simmetrici, allo stesso modo: la testa ideale misura un ottavo del corpo intero; il volto e il palmo un decimo; il petto un quarto. Il palmo a sua volta misura quattro volte il pollice e il piede sedici volte.

Studio di proporzioni del corpo umano detto Uomo vitruviano, 1490 ca.

Punta metallica, penna e inchiostro, tocchi di acquerello su carta bianca 345 x 246 mm

Venezia, Gallerie dell’Accademia, Gabinetto dei disegni e delle stampe cat. n. 228

Rispetto al tema della simmetria, Leonardo da Vinci costituisce una innovazione involontaria. Involontaria, come spesso accade al genio che fa qualcosa senza comprenderne appieno il vero, profondissimo significato.

La letteratura banale e usuale considera il Disegno di Leonardo da Vinci, come un richiamo del canone di Vitruvio. La involontarietà di Leonardo nella sua innovazione è di due tipi:

1. Dal punto di vista della cronaca, dovuta al fatto che, in realtà, secondo alcuni studiosi, il disegno di Leonardo riguarda piuttosto una riflessione sulle ricerche di Leon Battista Alberti e sul pensiero di Euclide, come dimostra l’analisi attenta delle proporzioni nella figura che sono più vicine a quelle indicate nel De statua dell’Alberti; anche perché Leonardo non conosceva il latino e quindi non poteva comprendere il trattato di Vitruvio.
2. Dal punto di vista della storia invece è necessario reintepretare la concettualizzazione analitica fin qui svolta. Per molti analisti e critici il disegno di Leonardo rappresenterebbe un passaggio epocale: l’unione simbolica tra arte e scienza. L’uomo Vitruviano è inserito all’interno di due figure geometriche: il cerchio e il quadrato, forme considerate perfette dal filosofo greco Platone. L’uomo vitruviano di Leonardo rappresenterebbe la nascita dell’età moderna. La figura umana viene analizzata e misurata con strumenti matematici e geometrici: l’uomo sarebbe la misura di tutte le cose. Le due strutture geometriche hanno una forte valenza simbolica della creazione: il quadrato rappresenta la Terra, mentre il cerchio l’Universo. L’uomo entra in contatto con le due figure in maniera del tutto proporzionale e ciò rappresenta la natura perfetta della creazione dell’uomo in sintonia con Terra e Universo. Il nostro approccio è leggermente diverso. Qui si vuole sostenere che non fu quella indicata dai critici tradizionali l’innovazione involontaria di Leonardo. La forza del disegno sta nel fatto che l’uomo tocca contemporaneamente la terra e l’universo rompendo ogni possibile simmetria. Implicitamente Leonardo ci dice, prima di tutto, che è nella rottura di simmetria che va riposizionato l’umano e che il suo stato infinitesimale è al tempo stesso il suo stato globale e planetario. Le stesse identiche cose che ci dicono oggi la teoria quantistica e la logica della complessità. Questo è il genio puro, colui che nessuno sa cosa prevede (lui nemmeno), ma prevede ciò che ancora nessuno sa. E lo fa in controtendenza, quando il Rinascimento fiorentino, italiano ed europeo si fonda sul recupero non solo dell’idea di simmetria e di giusta proporzione, ma sul recupero della scienza ellenistica (e araba). L’Uomo Vitruviano di Leonardo da Vinci, contro il celebrato recupero della simmetria, che è l’essenza stessa della cultura del Rinascimento, ci mostra davvero l’uomo universale che può toccare contemporaneamente la terra e il cielo soltanto se è in grado di rompere ogni simmetria.

Leonardo inaugura la rottura di simmetria e con la rottura di simmetria inaugura la complessità e il mondo nuovo della logica quantistica. Eppure noi abbiamo continuato ad analizzare la simmetria come elemento per studiare la matematica e le arti in senso ampio. Spesso abbiamo anche creduto di ottenere un ritorno tangibile. Guardare una statua, un tempio o un quadro e cogliere le simmetrie che lo caratterizzano è immediato.

Un giorno Pitagora udì un fabbro che batteva martelli di pesi diversi sull’incudine. E notò che a seconda del peso variava la frequenza del suono, producendo tintinnii più o meno piacevoli. Indagando sul perché, Pitagora si rese conto che martelli, i cui pesi stavano in precisi rapporti, producevano suoni consonanti.

Abbiamo trascurato certamente la musica che è forse l'arte più astratta più incorporea nota.

Così Pitagora scoprì, secondo un antico aneddoto tramandato da Giamblico di Calcide, l’associazione tra musica e matematica.

Franchino Gaffurio, Theorica musicae,1492[7]

Douglas R. Hofstadter, nel testo “Gödel, Escher, Bach: un’Eterna Ghirlanda Brillante”, ci ricorda che Bach compose le “variazioni di Goldberg”. Erano trenta variazioni composte in modo del tutto particolari: “Tutti i brani, a parte il finale, sono basati su un solo tema, che egli chiamò «aria». In realtà, ciò che li unisce non è una melodia comune, ma una comune base armonica. Le melodie possono variare ma, soggiacente ad esse, vi è un tema costante. Solo nell’ultima variante Bach si concesse delle libertà. Si tratta di una specie di «finale post finale». Contiene idee musicali estranee, che hanno poco a che fare col tema originario e che s’ispirano a due motivi popolari tedeschi”[8].

Simmetria e rottura di simmetria. La innovazione non è nella eterna ripetizione della comune base armonica. L’innovazione che fa delle composizioni di Bach e che ci trasmette il loro fascino è tutta in quell’ultima variante di libertà, nel «finale post finale», in quelle idee musicali estranee ed esterne dal tema originario. Questo è la tipica genialità che ascoltiamo in un brano musicale di Bach. C’è una propria struttura geometrica, di cui non è facile accorgersi, una simmetria e la sua rottura che appunto simmetricamente ogni volta propone.

La similitudine tra musica e matematica, la ricorrenza delle note in simmetria numericamente espresse, sono una dimostrazione della capacità umana a cogliere e produrre direttamente e in modo estremamente naturale la bellezza. In entrambi i casi, equazione matematica e brano musicale, cogliere la presenza di simmetrie permette di arrivare a un grado di comprensione superiore che non si raggiungerebbe se si trascurasse l’analisi della struttura. Una simmetria multimensionale: una prima dimensione è quella del suono, che caratterizzato dalla periodicità delle oscillazioni della pressione dell’aria e che possiede quindi una simmetria intrinseca, o almeno una “quasi-simmetria”, riconoscibile durante gli intervalli di tempo (detto “fase di sustain”, in cui ciascun periodo è del tutto simile al precedente); la seconda dimensione si chiama simmetria di traslazione, cioè un suono che decresce lentamente in ampiezza (fase di “release”), come quello di una corda pizzicata, e che mantiene una forte somiglianza tra un periodo e il precedente (la differenza è appunto nell’ampiezza ma la forma rimane la stessa per vari periodi e che, infatti, ci fa percepire sempre lo stesso timbro); una terza dimensione livello riguarda la scelta dei suoni, la scelta tra tutti i suoni possibili, che si esprime in ogni cultura, privilegiandone una parte, individuata principalmente dal parametro altezza, fisicamente corrispondente alla frequenza fondamentale (cioè del primo armonico)[9].

La prima parte delle composizioni di Bach sono strutturate da queste regole simmetriche. Solo conoscendo le regole con le quali è costruita una partitura si possono apprezzare le differenze tra un canone di Bach e altre opere musicali[10].

La seconda parte delle composizioni di Bach liberano la sua energia creativa proprio perché rompano la simmetria su cui il precedente è stato costruito.

Il genio è così: involontariamente strappa la conoscenza dal mondo, quella che percepisce, quella che non conosce ma che gli passa dentro e sente oltre se stesso.

Il genio è così, riproduce costantemente la fenomenologia dell’esistente.

NOTE

[1] WEYL H., La simmetria, Milano, Feltrinelli 1962

[2] https://www.treccani.it/vocabolario/simmetria/

[3] CASTELLANI E. Simmetria e natura. Dalle armonie delle figure alle invarianze delle leggi. Bari: Editori Laterza, prima ed., gennaio 2000., pag. 17

[4] PLATONE, Timeo, a cura di F. FRONTEROTTA, Milano 2003

[5] GHIRARDI G. C., Simmetrie. Nell'arte e nella scienza, Carocci 2019, p.21

[6] VITRUVIO – De Architettura – Introduzione di Stefano Maggi, testo critico, traduzione e commento di Silvio Ferri - ed. BUR, Milano, 2002

[7] GHIRARDI G. C., cit. 2019, p.231

[8] HOFSTADTER R. Douglas, Gödel, Escher, Bach: un’Eterna Ghirlanda Brillante, Adelphi, Milano 1984, p.425

[9] Nella musica occidentale che va dal ‘700 a oggi, il campionario dei suoni (in teoria della comunicazione si chiamerebbe alfabeto dei simboli) è costituito dalla successione di 88 altezze, suddivise in gruppi di 12 suoni detti “note musicali”. Ognuno di tali gruppi è chiamato “ottava”; al suo interno le note assumono i 7 nomi che conosciamo (DO, RE, MI, FA, SOL, LA, SI) ai quali si aggiungono 5 dei medesimi nomi seguiti da un suffisso (#, b). La nota iniziale di ogni ottava ha la frequenza fondamentale doppia di quella iniziale dell’ottava precedente. Questa caratteristica fa sì che possano usarsi gli stessi nomi, ripetuti in ottave diverse.

[10] un’opera di Verdi, ad esempio, con un linguaggio, quello della geometria, in cui si parla di traslazioni, riflessioni, stiramenti, cioè delle cosiddette isometrie del piano in sé che permettono di trasformare il grafico di una funzione.